1. 概述

Deep&Cross Network（DCN）[1]是由Google于2017年提出的用于计算CTR问题的方法，是对Wide&Deep[2]模型的进一步改进。线性模型无法学习到特征的交叉属性，需要大量的人工特征工程的介入，深度网络对于交叉特征的学习有着天然的优势，在Wide&Deep模型中，Deep侧已经是一个DNN模型，而Wide侧是一个线性模型LR，无法有效的学习到交叉特征。在DCN中针对Wide&Deep模型的Wide侧提出了Cross网络，通过Cross网络学习到更多的交叉特征，提升整个模型的特征表达能力。

2. 算法原理

2.1. DCN的网络结构

DCN模型的网络结构如下图所示：

在DCN网络中，由下到上主要包括五种类型的层，第一种是Embedding层，第二种是Stacking层，用于组合Embedding层的输出；第三种是Cross network的层，用于对Stacking后的特征进行学习；第四种是Deep network的层，作用与Cross network的层一样，此外，Cross network的层和Deep network的层是并行的两个过程；第五种是输出层，经过Cross network的层和Deep network的层后，组合两者的输出做最后的计算。

2.2. DCN网络的计算过程

2.2.1. Embedding和Stacking

对于CTR问题的输入，通常是由一些离散的特征和连续的特征组成，对于离散的特征的处理方法通常是利用one-hot编码对其离散化处理，但是处理后的特征通常是较为稀疏的，举例来说，如类别特征“country=USA”，假设通过one-hot编码后得到的特征为$\left [ 0,1,0 \right ]$。这样的特征不适合DNN处理，通常需要通过Embedding将其转换成连续的向量表示，这便是Embedding层的作用，最终得到的Embedding层的输出为：

$$\mathbf{x}_{embed,i}=W_{embed,i}\mathbf{x}_i$$

其中，$\mathbf{x}_{embed,i}$是Embedding层的输出向量，$\mathbf{x}_i$是属入的第$i$个离散特征，$W_{embed,i}\in \mathbb{R}^{n_e\times n_v}$是一个$n_e\times n_v$的矩阵，是用于连接输入层到Embedding层的参数。通过Embedding层后，在Stacking层，需要将Embedding层的输出组合在一起，这里的Embedding特征包括了离散特征的Embedding结果以及原始的连续特征：

$$\mathbf{x}_0=\left [ \mathbf{x}_{embed,1}^T,\cdots ,\mathbf{x}_{embed,k}^T,\mathbf{x}_{dense}^T \right ]$$

得到Embedding层的结果后，便进入到DCN网络的核心的两个网络，分别是Cross network和Deep network。

2.2.2. Cross network

Cross network部分是Deep&Cross网络的核心部分，其作用是利用深度神经网络充分挖掘特征中的交叉特征。具体过程的形式化表示如下图所示：

其具体的数学表述为：

$$\mathbf{x}_{l+1}=\mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{l}^T\mathbf{w}_l+\mathbf{b}_{l}+\mathbf{x}_{l}=f\left ( \mathbf{x}_{l},\mathbf{w}_{l},\mathbf{b}_{l} \right )+\mathbf{x}_{l}$$

其中，$\mathbf{x}_{l},\mathbf{x}_{l+1}\in \mathbb{R}^d$表示的是Cross network的第$l$层和第$l+1$层的输出向量，$\mathbf{w}_l,\mathbf{b}_l\in \mathbb{R}^d$是Cross network的第$l$层的参数。上述公式的第二部分可以写成：

$$f\left ( \mathbf{x}_{l},\mathbf{w}_{l},\mathbf{b}_{l} \right )=\mathbf{x}_{l+1}-\mathbf{x}_{l}$$

从上述公式可以看出是一个残差网络[3]的表达形式，函数$f:\mathbb{R}^d \mapsto \mathbb{R}^d$需要拟合的是第$l+1$层和第$l$层的残差$\mathbf{x}_{l+1}-\mathbf{x}_{l}$。在ResNet中，残差网络的优点主要有：

1. 通过残差网络可以构建深层网络。在传统的MLP，当网络加深之后，往往存在过拟合现象。而通过残差网络构建深层网络，可以减少过拟合现象的发生。
2. 残差网络使用了ReLU激活函数取代Sigmoid激活函数可以有效防止梯度弥散，使得网络更容易收敛。

总的来说，可以通过残差网络构建更深层的模型，便于学习到特征之间的交叉属性。

2.2.3. Deep network

Deep network部分与Wide&Deep模型中一致，是一个典型的全连接前馈神经网络，其可以由下属公式表示：

$$\mathbf{h}_{l+1}=f\left ( W_l\mathbf{h}_l+\mathbf{b}_l \right )$$

其中，$\mathbf{h}_{l}\in \mathbb{R}^{n_l},\mathbf{h}_{l+1}\in \mathbb{R}^{n_{l+1}}$分别为第$l$层和第$l+1$层的隐含层输出，$W_l\in \mathbb{R}^{n_{l+1}\times n_{l}},\mathbf{b}_l\in \mathbb{R}^{n_{l+1}}$为Deep network第$l$层到第$l+1$层的参数；$f\left ( \cdot \right )$是一个激活函数，如ReLU。

2.2.4. Combination

Combination层的作用是将上述两个network的结果组合在一起，以便送入到输出层，通常选择concat的方法将两者组合在一起，如$\left [ \mathbf{x}_{L_1}^T,\mathbf{h}_{L_2}^T \right ]$，最终送入到输出层，输出层的结果为：

$$p=\sigma \left ( \left [ \mathbf{x}_{L_1}^T,\mathbf{x}_{L_2}^T \right ]\mathbf{w}_{logits} \right )$$

其中，$\mathbf{x}_{L_1}^T\in \mathbb{R}^d,\mathbf{x}_{L_2}^T \in\mathbb{R}^m$分别为Cross network和Deep network的输出，$\mathbf{w}_{logits}$为Combination层到输出层的权重，$\sigma$为激活函数$\sigma =\frac{1}{1+exp\left ( -x \right )}$。

2.3. Cross network中的特征交叉

Cross network中的特征交叉才是Cross network的核心，为了方便描述，在此对Cross network做一些限定：假设网络的深度$L=2$，输入$\mathbf{x}_0\in \mathbb{R}^d$，为描述简单，假设$d=2$，此时$\mathbf{x}_0^T=\left [ x_{0,0},x_{0,1} \right ]$，则$L=1$层的输出为：

$$\mathbf{x}_{1}=\mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{0}^T\mathbf{w}_0+\mathbf{b}_{0}+\mathbf{x}_{0}$$

其中，$\mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{0}^T$为：

$$\mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{0}^T=\begin{pmatrix} x_{0,0}x_{0,0} &x_{0,0}x_{0,1} \\ x_{0,1}x_{0,0} &x_{0,1}x_{0,1} \end{pmatrix}$$

由于$\mathbf{x}_0\in \mathbb{R}^d$，$\mathbf{w}_0\in \mathbb{R}^d$，则$\mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{0}^T\mathbf{w}_0\in \mathbb{R}^d$，最终$\mathbf{x}_{1}\in \mathbb{R}^d$。$L=2$层的输出为:

$$\begin{aligned} \mathbf{x}_{2} &= \mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{1}^T\mathbf{w}_1+\mathbf{b}_{1}+\mathbf{x}_{1}\\ &= \mathbf{x}_{0}\left [ \mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{0}^T\mathbf{w}_0+\mathbf{b}_{0}+\mathbf{x}_{0} \right ]^T\mathbf{w}_1+\mathbf{b}_{1}+\mathbf{x}_{0}\mathbf{x}_{0}^T\mathbf{w}_0+\mathbf{b}_{0}+\mathbf{x}_{0} \end{aligned}$$

从上述公式可以看到$\mathbf{x}_1$包含了原始特征$\mathbf{x}_0$从一阶（即：$x_{0,0},x_{0,1}$）到二阶（即：$x_{0,0}x_{0,0}$，$x_{0,0}x_{0,1}$，$x_{0,1}x_{0,0}$和$x_{0,1}x_{0,1}$）的所有可能叉乘组合，而$\mathbf{x}_2$包含了其从一阶到三阶的所有可能叉乘组合。由此可知随着Cross network的网络深度的增加，交叉的阶数也在增加，通过这种方式实现特征之间的充分交叉，同时通过不同层的权重$\mathbf{w}_i$选择不同阶数的交叉特征，以此达到特征选择的效果。

注：在Cross network中，网络中每一层的维数都是相等的。

3. 总结

Deep&Cross Network通过对Cross network的设计，可以显示、自动地构造有限高阶的特征叉乘，并完成不同阶特征的选择，从而在一定程度上摆脱了人工的特征工程，同时保留深度网络起到一定的泛化作用。

参考文献

[1] Wang R, Fu B, Fu G, et al. Deep & cross network for ad click predictions[M]//Proceedings of the ADKDD’17. 2017: 1-7.

[2] Cheng H T, Koc L, Harmsen J, et al. Wide & Deep Learning for Recommender Systems[J]. 2016:7-10.

[3] He K, Zhang X, Ren S, et al. Deep residual learning for image recognition[C]//Proceedings of the IEEE conference on computer vision and pattern recognition. 2016: 770-778.